Hai đường thẳng vuông góc toán lớp 7 bài 2 giải bài tập được đăng ở chuyên mụcGiải Toán 7và biên soạn theo phần toán hình 7 thuộc SKG Toán lớp 7. Bài giải toánlớp 7được biên soạn bởi các thầy cô giáo dạy giỏi toán tư vấn, nếu thấy hay hãy chia sẻ và comment để Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AB và CD (h.3.80), ta có IK là đoạn vuông góc chung của AB và CD và độ dài đoạn IK là khoảng cách cần tìm: - HS nhận xét: 2 đường thẳng BC và DC tạo thành 4 góc vuông chung đỉnh. - Kiểm tra lại bằng Ê ke: + GV dùng Ê ke vẽ góc vuông đỉnh O có cạnh OM và ON rồi kéo dài 2 cạnh góc vuông để được 2 đường thẳng OM và ON vuông góc với nhau. + Hai đường thẳng vuông góc OM và ON tạo 3.2. Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vuông góc. Cho hai đường thẳng a và b lần lượt có 2 vectơ chỉ phương là u và v. Ta áp dụng một số cách sau để chứng minh hai đường thẳng vuông góc: 1. Sử dụng các tính chất về quan hệ vuông góc trong hình học phẳng. Ngày soạn 11/03/2020 CHỦ ĐỀ 2: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC (2 tiết) I Mục tiêu Kiến thức: Nắm khái niệm góc hai vectơ khơng gian, tích vơ hướng vectơ khơng gian Nắm định nghĩa vectơ phương đường thẳng, góc hai đường thẳng; định nghĩa đường thẳng vng góc khơng gian Kỹ năng: • Biết dựng góc vectơ; vận dụng Học Toán 11 Chương 3 Bài 2: Hai đường thẳng vuông góc. 1. Tóm tắt lý thuyết 1.1. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian. HCtG8. I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN1. Góc giữa hai vectơ trong không gianĐịnh nghĩaTrong không gian, cho \\overrightarrow{u}\ và \\overrightarrow{v}\ là hai vectơ khác vectơ - không. Lấy một điểm \A\ bất kì, gọi \B\ và \C\ là hai điểm sao cho \\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}\, \\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{v}\. Khi đó ta gọi góc \\widehat{BAC}\ \0^0\le\widehat{BAC}\le180^0\ là góc giữa hai vectơ \\overrightarrow{u}\ và \\overrightarrow{v}\ trong không gian, kí hiệu là \\left\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right\.2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gianĐịnh nghĩaTrong không gian cho hai vectơ \\overrightarrow{u}\ và \\overrightarrow{v}\ đều khác vectơ - không. Tích vô hướng của hai vectơ \\overrightarrow{u}\ và \\overrightarrow{v}\ là một số, kí hiệu là \\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\, được xác định bởi công thức \\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\overrightarrow{u}\right.\left\overrightarrow{v}\right.\cos\left\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right\Trường hợp \\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}\ hoặc \\overrightarrow{v}=\overrightarrow{0}\ ta quy ước \\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\.Ví dụ 1 Cho tứ diện \OABC\ có các cạnh \OA,OB,OC\ đôi một vuông góc và \OA=OB=OC=1\. Gọi \M\ là trung điểm cạnh \AB\. Tính góc giữa hai vectơ \\overrightarrow{OM}\ và \\overrightarrow{BC}\.GiảiTa có \\cos\left\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\left\overrightarrow{OM}\right.\left\overrightarrow{BC}\right}=\dfrac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\dfrac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}\Mặt khác \\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}=\dfrac{1}{2}\left\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right.\left\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}\right=\dfrac{1}{2}\left\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}^2\right\Vì \OA,OB,OC\ đôi một vuông góc và \OB=1\ nên \\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB}=\overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC}=0\ và \\overrightarrow{OB}^2=1\Suy ra \\cos\left\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right=-\dfrac{1}{2}\. Vậy \\left\overrightarrow{OM},\overrightarrow{BC}\right=120^0\.II. VECTƠ CHỈ PHƯƠNG CỦA ĐƯỜNG THẲNG1. Định nghĩaVectơ \\overrightarrow{a}\ khác vectơ - không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng \d\ nếu giá của vectơ \\overrightarrow{a}\ song song hoặc trùng với đường thẳng \d\.2. Nhận xéta Nếu \\overrightarrow{a}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng \d\ thì vectơ \k\overrightarrow{a}\ với \k\ne0\ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng \d\.b Một đường thẳng \d\ trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm \A\ thuộc \d\ là một vectơ chỉ phương \\overrightarrow{a}\ của Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG TRONG KHÔNG GIAN1. Định nghĩaGóc giữa hai đường thẳng \a\ và \b\ trong không gian là góc giữa hai đường thẳng \a'\ và \b'\ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với \a\ và \b\.2. Nhận xéta Để xác định góc giữa hai đường thẳng \a\ và \b\ ta có thể lấy điểm \O\ thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vec một đường thẳng qua \O\ và song song với đường thẳng còn Nếu \\overrightarrow{u}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng \a\ và \\overrightarrow{v}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng \b\ và \\left\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right=\alpha\ thì góc giữa hai đường thẳng \a\ và \b\ bằng \\alpha\ nếu \0^0\le\alpha\le90^0\ và bằng \180^0-\alpha\ nếu \90^0< \alpha\le180^0\. Nếu \a\ và \b\ song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \0^0\.Ví dụ 2 Cho hình chóp \ có \SA=SB=SC=AB=AC=a\ và \BC=a\sqrt{2}\. Tính góc giữa hai đường thẳng \AB\ và \SC\.GiảiTa có \\cos\left\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right=\dfrac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\left\overrightarrow{SC}\right.\left\overrightarrow{AB}\right}=\dfrac{\left\overrightarrow{SA}+\overrightarrow{AC}\right.\overrightarrow{AB}}{ \\cos\left\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right=\dfrac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^2}\Nhận thấy \AB^2+AC^2=BC^2\ nên tam giác \ABC\ vuông tại \A\ suy ra \\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=0\Tam giác \SAB\ đều nên \\left\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AB}\right=120^0\ và do đó \\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB}= đó tính được \\cos\left\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}\right=-\dfrac{1}{2}\. Do đó \\overrightarrow{SC},\overrightarrow{AB}=120^0\Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng \SC\ và \AB\ bằng \180^0-120^0=60^0\.5265262246IV. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC1. Định nghĩaHai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \90^0\.Kí hiệu \a\perp b,d\perp d',...\2. Nhận xéta Nếu \\overrightarrow{u}\ và \\overrightarrow{v}\ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng \a\ và \b\ thì \a\perp b\Leftrightarrow\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\.b Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng Hai đường thẳng vuông góc với nhau thì cắt nhau hoặc chéo dụ 3 Cho tứ diện \ABCD\ có \AB\perp AC\ và \AB\perp BD\. Gọi \P,Q\ lần lượt là trung điểm \AB,CD\. Chứng minh rằng \AB\ và \PQ\ là hai đường thẳng vuông có \\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{CQ}\ và \\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{BD}+\overrightarrow{DQ}\Do đó \2\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\Khi đó \2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=\left\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{BD}\right.\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB}=0\Hay \\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB}=0\ tức là \PQ\perp AB\.2157429 Danh sách các phiên bản khác của bài học này. Xem hướng dẫn Contents1 Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau2 I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Chuyên đề luyện thi vào 10 Tìm điều kiện của m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, vuông góc hoặc trùng nhau I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông gócII. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông gócIII. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bạn đang xem 2 đường thẳng vuông góc lớp 10 Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, vuông góc hoặc trùng nhau là một dạng toán thường gặp trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán được biên soạn và giới thiệu tới các bạn học sinh cùng quý thầy cô tham khảo. Nội dung tài liệu sẽ giúp các bạn học sinh học tốt môn Toán lớp 9 hiệu quả hơn. Mời các bạn tham Câu hỏi trắc nghiệm Hàm số bậc nhấtToán nâng cao lớp 9 Chủ đề 4 Hàm số bậc nhất – hàm số bậc haiHàm số bậc nhấtĐể tiện trao đổi, chia sẻ kinh nghiệm về giảng dạy và học tập các môn học lớp 9, mời các thầy cô giáo, các bậc phụ huynh và các bạn học sinh truy cập nhóm riêng dành cho lớp 9 sau Nhóm Luyện thi lớp 9 lên 10. Rất mong nhận được sự ủng hộ của các thầy cô và các đề này được biên soạn gồm hướng dẫn giải chi tiết cho dạng bài tập “Tìm m thỏa mãn điều kiện vị trí tương đối của hai đường thẳng”, vốn là một câu hỏi điển hình trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10. Đồng thời tài liệu cũng tổng hợp thêm các bài toán để các bạn học sinh có thể luyện tập, củng cố kiến thức. Qua đó sẽ giúp các bạn học sinh ôn tập các kiến thức, chuẩn bị cho các bài thi học kì và ôn thi vào lớp 10 hiệu quả nhất. Sau đây mời các bạn học sinh cùng tham khảo tải về bản đầy đủ chi tiết. Xem thêm Hướng Dẫn Cách Chơi 2 Acc Vltk Mobile Trên Bluestacks, Cách Mở Nhiều Cửa Sổ Bluestacks Cùng Lúc I. Bài toán tìm m để hai đường thẳng cắt nhau, song song, trùng nhau và vuông góc + Cho hai đường thẳng d y = ax + b và d’ y = a’x + b- Hai đường thẳng cắt nhau d cắt d’ khi a ≠ a”- Hai đường thẳng song song với nhau d // d’ khi a = a” và b ≠ b”- Hai đường thẳng vuông góc d ⊥ d” khi = -1- Hai đường thẳng trùng nhau khi a = a” và b = b”+ Nếu bài toán cho 2 hàm số bậc nhất y = ax + b và y = a’x + b’ thì phải thêm điều kiện a ≠ 0 và a” ≠ 0 II. Bài tập ví dụ về bài toán tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau và vuông góc Bài 1 Cho hai hàm số y = kx + m -2 và y = 5 – k.x + 4 – m. Tìm m, k để đồ thị của hai hàm sốa, Trùng nhaub, Song song với nhauc, Cắt nhauLời giảiĐể hàm số y = kx + m – 2 là hàm số bậc nhất khi k ≠ 0Để hàm số y = 5 – kx + 4 – m là hàm số bậc nhất khi 5 – k ≠ 0 ⇔ k ≠ 5a, Để đồ thị của hai hàm số trùng nhau Vậy với ; m = 3 thì đồ thị của hai hàm số trùng nhaub, Để đồ thị của hai hàm số song song với nhau Vậy với ; m ≠ 3 thì đồ thị của hai hàm số song song với nhauc, Để đồ thị của hai hàm số cắt nhau ⇔ k ≠ 5 – k ⇔ 2k ≠ 5 ⇔ Vậy với thì hai đồ thị hàm số cắt nhauBài 2 Cho hàm số y = 2m – 3x + m – 5. Tìm m để đồ thị hàm sốa, Tạo với 2 trục tọa độ một tam giác vuông cânb, Cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên Oyc, Cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên OxLời giảiĐể hàm số là hàm số bậc nhất ⇔ 2m – 3 ≠ 0 ⇔ a, Gọi giao điểm của hàm số với trục Ox là A. Tọa độ của điểm A là Độ dài của đoạn Gọi giao điểm của hàm số với trục Oy là B. Tọa độ của điểm B là B 0; m – 5Độ dài của đoạn OB = m – 5 Ta có tam giác OAB là tam giác vuông tại AĐể tam giác OAB là tam giác vuông cân Vậy với m = 1 hoặc m = 2 thì đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ tam giác vuông cânb, Gọi A là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục Oy trục tung⇒ A 0; bThay tọa độ điểm A vào đồ thị hàm số y = 3x – 4 ta có b = 4Điểm A0; 4 thuộc đồ thị hàm số y = 2m – 3x + m – 5 nên ta có4 = 2m – 3. 0 + m – 5 ⇔ m – 5 = 4 ⇔ m = 9 thỏa mãnVậy với m = 9 thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = 3x – 4 tại một điểm trên trục tungc, Gọi B là điểm đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = – x – 3 tại một điểm trên trục Ox trục hoành⇒ B a; 0Thay tọa độ điểm B vào đồ thị hàm số y = – x – 3 ta có a = – 3Điểm B -3; 0 thuộc đồ thị hàm số y = -x – 3 nên ta có0 = -3. 2m – 3 + m – 5 ⇔ -5m + 4 = 0 ⇔ m = thỏa mãnVậy với thì đồ thị hàm số cắt đường thẳng y = -x – 3 tại một điểm trên trục hoànhBài 3 Cho hai đường thẳng d1 y = m + 1x + 2 và d2 y = 2x + 1. Tìm m để hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm có hoành độ và tung độ trái dấuLời giảiĐể hai đường thẳng cắt nhau thì m + 1 ≠ 2 ⇔ m ≠ 1Phương trình hoành độ giao điểmm + 1 x + 2 = 2x + 1⇔ mx + x + 2 = 2x + 1⇔ x m + 1 – 2 = -1⇔ x m – 1 = -1 Với Để hoành độ và tung độ trái dấu thì Vậy A1; 1Ba đường thẳng đồng quy nên đồ thị hàm số y = m – 2x + m + 3 đi qua điểm A1; 1Thay tọa độ điểm A vào phương trình ta có 1 = 1.m – 2 + m + 3 hay m = 0Vậy với m = 0 thì ba đường thẳng đồng quy III. Bài tập tự luyện về bài toán chứng minh đồ thị hàm số luôn đi qua một điểm cố định Bài 1 Cho hàm số y = 2x + 3k và y = 2m + 1x + 2k – 3. Tìm điều kiện của m và k để đồ thị của hai hàm số là Cách tính delta và delta phẩy phương trình bậc 2 Suy nghĩ về câu tục ngữ Một cây làm chẳng nên non, ba cây chụm lại nên hòn núi cao Viết đoạn văn nghị luận về hiện tượng học tủ, học vẹt 19 Đoạn văn viết về Sở thích bằng tiếng Anh Trình bày suy nghĩ của em về trách nhiệm của thế hệ trẻ hôm nay đối với đất nước trong hoàn cảnh mới Tính m để phương trình bậc hai có hai nghiệm trái dấu Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 x2 thỏa mãn điều kiện cho trước Ví dụ 1 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG} .\ c \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\. Hướng dẫn giải a Vì EG // AC nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {EG}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {AB}\ và \\overrightarrow {AC}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {EG} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {AC} } \right = {45^0}.\ b Vì AB // DG nên góc giữa \\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {DH}\ cũng bằng góc giữa \\overrightarrow {DC}\ và \\overrightarrow {DH}\ Vậy \\left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = \left {\overrightarrow {AB} ;\overrightarrow {DH} } \right = {45^0}.\ Ví dụ 2 Cho hình chóp tam giác có SA = SB =SC và có \\widehat {{\rm{ASB}}} = \widehat {BSC} = \widehat {CSA}.\ Chứng minh rằng \SA \bot BC, SB\bot AC, SC \bot AB.\ Hướng dẫn giải Xét các tích vô hướng \\overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} ,\overrightarrow {SB} .\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {SC} .\overrightarrow {AB} .\ Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SB} = \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SC} - \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {SB} \\ = \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SC} } \right.c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} - \left {\overrightarrow {SA} } \right.\left {\overrightarrow {SB} } \rightc{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \end{array}\ Theo giá thuyết \\left {\overrightarrow {SB} } \right = \left {\overrightarrow {SC} } \right\ Và \c{\rm{os}}\widehat {{\rm{CSA}}} = c{\rm{os}}\widehat {{\rm{ASB}}} \Rightarrow \overrightarrow {SA} .\overrightarrow {BC} = 0\ Vậy \SA \bot BC.\ Chứng minh tương tự ta có \SB\bot AC, SC \bot AB.\ Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Lời giải Ta có \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PA} + \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {CQ}\ Và \\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PB} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {DQ}\ Do đó \2\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD}\ Vậy \2.\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = \left {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} } \right.\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AC} .\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BD} .\overrightarrow {AB} = 0\ Hay \\overrightarrow {PQ} .\overrightarrow {AB} = 0\ Tức là \PQ \bot AB.\ Ví dụ 4 Cho tứ diện ABCD có AB=AC=AD=a, \\widehat {BAC} = \widehat {BAD} = {60^0}.\. a Chứng minh rằng AB vuông góc CD. b Nếu I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD thì \AB \bot IJ.\ Hướng dẫn giải a Ta có \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} \left {\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AC} } \right = \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} \\ = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC \end{array}\ Mặt khác ta có \AB = AC = AD,\widehat {BAC} = \widehat {BAD}\ Nên \\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} = \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right.\cos BAD - \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right.\cos BAC = 0\ Vậy AB vuông góc với CD. b Do I, J là trung điểm của AB và CD nên ta có \\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {BC} } \right\ Do đó \\begin{array}{l} \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {IJ} = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BC} } \right = \frac{1}{2}\left {\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {AB} \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} .\overrightarrow {AC} } \right\\ = \frac{1}{2}\left {\left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AD} } \right\cos {{60}^0} - {{\overrightarrow {AB} }^2} + \left {\overrightarrow {AB} } \right.\left {\overrightarrow {AC} } \right\cos {{60}^0}} \right\\ = \frac{1}{2}\left {\frac{1}{2}{a^2} - {a^2} + \frac{1}{2}{a^2}} \right = 0 \end{array}\ Vậy AB và IJ vuông góc nhau. Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian – Hình Học Lớp 11 Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc Nội dung Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan. I. Tích Vô Hướng Của Hai Vectơ Trong Không Gian 1. Góc giữa hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian, cho \\\\vec{u}\ và \\vec{v}\ là hai vectơ khác vectơ – không. Lấy một điểm A bất kì, gọi B và C là hai điểm sao cho \\overrightarrow{AB} = \vec{u}, \overrightarrow{AC} = \vec{v}\. Khi đó ta gọi góc \\widehat{BAC} 0^0 ≤ \widehat{BAC} ≤ 180^0\ là góc giữa hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ trong không gian, kí hiệu là \\vec{u}, \vec{v}\ Hình Hình Câu hỏi 1 bài 2 trang 93 SGK hình học lớp 11 Cho tứ diện đều ABCD có H là trung điểm của cạnh AB. Hãy tính góc giữa các cặp vectơ sau đây a. \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ b. \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ Giải Tứ diện ABCD đều có các mặt là tam giác đều. Câu a \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ Góc giữa \\overrightarrow{AB}\ và \\overrightarrow{BC}\ là góc α và \α = 180^0 – 60^0 = 120^0\ Câu b \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ Góc giữa \\overrightarrow{CH}\ và \\overrightarrow{AC}\ là góc β H là trung điểm cạnh AB của tam giác đều ABC nên CH vừa là trung tuyến vừa là đường cao nên CH ⊥ AB. Xét tam giác vuông ACH tại H có \\widehat{ACH} + \widehat{CAH} = 90^0 ⇒ \widehat{ACH} = 90^0 – 60^0 = 30^0\ Nên \β = 180^0 – 30^0 = 150^0\ 2. Tích vô hướng của hai vectơ trong không gian Định nghĩa Trong không gian cho hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ đều khác vectơ – không. Tích vô hướng của hai vectơ \\vec{u}\ và \\vec{v}\ là một số, kí hiệu là \\vec{u}.\vec{v}\, được xác định bởi công thức \\vec{u}.\vec{v} = \vec{u}.\vec{v}.cos\vec{u}, \vec{v}\ Trường hợp \\vec{u} = \vec{0}\ hoặc \\vec{v} = \vec{0}\ ta quy ước \\vec{u}.\vec{v} = 0\. Ví dụ 1 Cho tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc và OA = OB = OC = 1. Gọi M là trung điểm của cạnh AB. Tính góc giữa hai vectơ \\overrightarrow{OM}\ và \\overrightarrow{BC}\. Giải Ta có \cos\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}\ \= \frac{\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC}}{\frac{\sqrt{2}}{2}.\sqrt{2}}\ Hình Hình Mặt khác \\overrightarrow{OM}.\overrightarrow{BC} = \frac{1}{2}\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}\ \= \frac{1}{2}\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} – \overrightarrow{OB}^2\ Vì OA, OB, OC đôi một vuông góc và OB = 1 nên \\overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OC} = \overrightarrow{OA}.\overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{OC} = 0\ và \\overrightarrow{OB}^2 = 1\ Do đó \cos\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = -\frac{1}{2}\. Vậy \\overrightarrow{OM}, \overrightarrow{BC} = 120^0\. Câu hỏi 2 bài 2 trang 94 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương a. Hãy phân tích các vectơ \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ theo ba vectơ \\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\. b. Tính \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}\ từ đó suy ra \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ vuông góc với nhau. Giải Câu a Hãy phân tích các vectơ \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ theo ba vectơ \\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AA’}\. \\overrightarrow{AC’} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AA’} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}\ \\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\ Câu b Tính \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD}\ từ đó suy ra \\overrightarrow{AC’}\ và \\overrightarrow{BD}\ vuông góc với nhau. \cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{AC’.BD}\ \\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AD} – \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AD}.\overrightarrow{AB} – \overrightarrow{AA’}.\overrightarrow{AB}\ 1 Hình lập phương nên AB, AD, AA’ đôi một vuông góc với nhau 1 \= \vec{0} + \overrightarrow{AD}^2 + \vec{0} – \overrightarrow{AB}^2 – \vec{0} – \vec{0} = 0 AB = AD\ \⇒ cos\overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = \frac{\overrightarrow{AC’}.\overrightarrow{BD}}{\overrightarrow{AC’}.BD} = 0\ \⇒ \overrightarrow{AC’}, \overrightarrow{BD} = 90^0\ Vậy hai vectơ trên vuông góc với nhau. II. Vectơ Chỉ Phương Của Đường Thẳng 1. Định nghĩa Vectơ \\vec{a}\ khác vectơ – không được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d nếu giá của vectơ \\vec{a}\ song song hoặc trùng với đường thẳng d Hình Hình 2. Nhận xét a. Nếu \\vec{a}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng d thì vectơ \k\vec{a}\ với \k ≠ 0\ cũng là vectơ chỉ phương của d. b. Một đường thẳng d trong không gian hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm A thuộc d và một vectơ chỉ phương \\vec{a}\ của nó. c. Hai đường thẳng song song với nhau khi và chỉ khi chúng là hai đường thẳng phân biệt và có hai vectơ chỉ phương cùng phương. III. Góc Giữa Hai Đường Thẳng Trong Không Gian Trong không gian cho hai đường thẳng a, b bất kì. Từ một điểm O nào đó ta vẽ hai đường thẳng a’ và b’ lần lượt song song với a và b. Ta nhận thấy rằng khi điểm O thay đổi thì góc giữa a’ và b’ không thay đổi. Do đó ta có định nghĩa 1. Định nghĩa Góc giữa hai đường thẳng a và b trong không gian là góc giữa hai đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua một điểm và lần lượt song song với a và b Hình Hình 2. Nhận xét a. Để xác định góc giữa hai đường thẳng a và b ta có thể lấy điểm O thuộc một trong hai đường thẳng đó rồi vẽ một đường thẳng qua O và song song với đường thẳng còn lại. b. Nếu \\vec{u}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng a và \\vec{v}\ là vectơ chỉ phương của đường thẳng b và \\vec{u}, \vec{v} = α\ thì góc giữa hai đường thẳng a và b bằng α nếu \0^0 ≤ α ≤ 90^0\ và bằng \180^0 – α\ nếu \90^0 < α ≤ 180^0\. Nếu a và b song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng bằng \0^0\. Câu hỏi 3 bài 2 trang 95 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương Tính góc giữa các cặp đường thẳng sau đây a. AB và B’C’ b. AC và B’C’ c. A’C’ và B’C Giải Câu a AB và B’C’ Góc giữa AB và B’C’ bằng góc giữa AB và BC vì B’C’ // BC ⇒ Góc giữa AB và \B’C’ = \widehat{ABC} = 90^0\ Câu b AC và B’C’ Góc giữa AC và B’C’ bằng góc giữa AC và BC vì B’C’ // BC ⇒ Góc giữa AC và \B’C’ = \widehat{ACB} = 45^0\ Câu c A’C’ và B’C Góc giữa A’C’ và B’C bằng góc giữa AC và B’C vì A’C’ // AC ΔACB’ đều vì AC = B’C = AB’ đường chéo của các hình vuông bằng nhau ⇒ Góc giữa A’C’ và \B’C = \widehat{ACB’} = 60^0\ Ví dụ 2 Cho hình chóp có SA = SB = SC = AB = AC = a và \BC = a\sqrt{2}\. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC. Giải Ta có \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{SC}.\overrightarrow{AB}}{\overrightarrow{SC}.AB}\ \= \frac{\overrightarrow{SA} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{ Hình Hình \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB}}{a^2}\ Vì \CB^2 = a\sqrt{2}^2 = a^2 + a^2 = AC^2 + AB^2\ nên \\overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} = 0\. Tam giác SAB đều nên \\overrightarrow{SA}, \overrightarrow{AB} = 120^0\ và do đó \\overrightarrow{SA}.\overrightarrow{AB} = = -\frac{a^2}{2}\. Vậy \cos\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = \frac{-\frac{a^2}{2}}{a^2} = -\frac{1}{2}\. Do đó \\overrightarrow{SC}, \overrightarrow{AB} = 120^0\. Ta suy ra góc giữa hai đường thẳng SC và AB bằng \180^0 – 120^0 = 60^0\. IV. Hai Đường Thẳng Vuông Góc 1. Định nghĩa Hai đường thẳng được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng \90^0\. Người ta kí hiệu hai đường thẳng a và b vuông góc với nhau là a ⊥ b. 2. Nhận xét a. Nếu \\vec{u}\ và \\vec{v}\ lần lượt là các vectơ chỉ phương của hai đường thẳng a và b thì \a ⊥ b ⇔ \vec{u}.\vec{v} = 0\. b. Cho hai đường thẳng song song. Nếu một đường thẳng vuông góc với đường thẳng này thì cũng vuông góc với đường thẳng kia. c. Hai đường thẳng vuông góc với nhau có thể cắt nhau hoặc chéo nhau. Ví dụ 3 Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ AC và AB ⊥ BD. Gọi P và Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng AB và PQ là hai đường thẳng vuông góc với nhau. Giải Ta có \\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PA} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CQ}\ và \\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{PB} + \overrightarrow{BD} + \overrightarrow{DQ}\ Hình Hình Do đó \2\overrightarrow{PQ} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}\ Vậy \2\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB}\ \= \overrightarrow{AC}.\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BD}.\overrightarrow{AB} = 0\ hay \\overrightarrow{PQ}.\overrightarrow{AB} = 0\ tức là PQ ⊥ AB Câu hỏi 4 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11 Cho hình lập phương Hãy nêu tên các đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với a. Đường thẳng AB b. Đường thẳng AC Giải Câu a Đường thẳng AB Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AB là AD, A’D’, BC, B’C’, AA’, BB’, CC’, DD’. Câu b Đường thẳng AC Đường thẳng đi qua hai đỉnh của hình lập phương đã cho và vuông góc với đường thẳng AC là BD, B’D’, AA’, BB’, CC’, DD’. Câu hỏi 5 bài 2 trang 97 SGK hình học lớp 11 Tìm những hình ảnh trong thực tế minh họa cho sự vuông góc của hai đường thẳng trong không gian trường hợp cắt nhau và trường hợp chéo nhau. Giải Trường hợp cắt nhau hai cạnh liền nhau của bàn, hai cạnh liền nhau của cửa số. Trường hợp chéo nhau bóng đèn tuyp trên tường tạo ra 1 đường thẳng vuông góc với cạnh của mặt tường bên cạnh. Bài Tập Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc Hướng dẫn giải bài tập SGK Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Hình Học Lớp 11. Bài giải có phương pháp giải, cách giải khác nhau để các bạn tham khảo. Bài Tập 1 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 Cho hình lập phương Hãy xác định góc giữa các cặp vectơ sau đây a. \\vec{AB}\ và \\vec{EG}\ b. \\vec{AF}\ và \\vec{EG}\ c. \\vec{AB}\ và \\vec{DH}\ Bài Tập 2 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 Cho tứ diện ABCD a. Chứng minh rằng \\vec{AB}.\vec{CD} + \vec{AC}.\vec{DB} + \vec{AD}.\vec{BC} = 0.\ b. Từ đẳng thức trên hãy suy ra rằng nếu tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ DB thì AD ⊥ BC. Bài Tập 3 Trang 97 SGK Hình Học Lớp 11 a. Trong không gian nếu hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với đường thẳng c thì a và b có song song với nhau không? b. Trong không gian nếu đường thẳng a vuông góc với đường thẳng b và đường thẳng b vuông góc với đường thẳng c thì a có vuông góc với c không? Bài Tập 4 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Trong không gian cho hai tam giác đều ABC và ABC’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, CB, BC’, C’A. Chứng minh rằng a. AB ⊥ CC’. b. Tứ giác MNPQ là hình chữ nhật. Bài Tập 5 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho hình chóp tam giác có SA = SB = SC và có \\widehat{ASB} = \widehat{BSC} = \widehat{CSA}\. Chứng minh rằng SA ⊥ BC, SB ⊥ AC, SC ⊥ AB. Bài Tập 6 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Trong không gian cho hai hình vuông ABCD và ABC’D’ có chung cạnh AB và nằm trong hai mặt phẳng khác nhau, lần lượt có tâm O và O’. Chứng minh rằng AB ⊥ Ô’ và tứ giác CDD’C’ là hình chữ nhật. Bài Tập 7 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho S là diện tích của tam giác ABC. Chứng minh rằng \S=\frac{1}{2}\sqrt{\overrightarrow{AB}^2.\overrightarrow{AC}^2- \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}^2}.\ Bài Tập 8 Trang 98 SGK Hình Học Lớp 11 Cho tứ diện ABCD có AB = AC = AD và \\widehat{BAC} = \widehat{BAD} = 60^0\. Chứng minh rằng a. AB ⊥ CD b. Nếu M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD thì MN ⊥ AB và MN ⊥ CD. Lời Kết Nội dung bài học nhắc đến các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Cùng với đó là tích vô hướng của hai vectơ và hai đường thẳng vuông góc trong không gian. Ở trên là nội dung Bài 2 Hai Đường Thẳng Vuông Góc thuộc Chương III Vectơ Trong Không Gian. Quan Hệ Vuông Góc Trong Không Gian môn Toán Hình Học Lớp 11. Giúp các bạn nắm được các khái niệm vectơ trong không gian, vectơ chỉ phương của đường thẳng, thế nào là góc giữa hai đường thẳng trong không gian và cùng với đó là khái niệm hai đường thẳng vuông góc. Trong bài học có đi kèm theo một vài ví dụ minh họa sẽ giúp các bạn thực hành kỹ năng giải các bài tập liên quan. Bài Tập Liên Quan Bài Tập Ôn Tập Cuối Năm – Hình Học Lớp 11 Câu Hỏi Trắc Nghiệm Chương III – Hình Học Lớp 11 Câu Hỏi Ôn Tập Chương III – Hình Học Lớp 11 Bài 5 Khoảng Cách Bài 4 Hai Mặt Phẳng Vuông Góc Bài 3 Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng Bài 1 Vectơ Trong Không Gian Bài viết này, Boxthuthuat sẽ chia sẻ với các bạn các công thức tính góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng hoặc trong không gian, các trường hợp tính cụ thể, kèm bài tập ví dụ chi tiết. Tính dựa vào vector chỉ phương Góc giữa hai đường thẳng bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho hai đường đường thẳng d1,d2. lần lượt là vector chỉ phương của d1;d2 Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Tính dự vào vector pháp tuyến Góc giữa hai đường thẳng trong mặt phẳng bằng góc giữa 2 vector pháp tuyến của 2 đường thẳng đó. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Cách tính góc giữa 2 đường thẳng trong không gian Góc giữa hai đường thẳng trong không gian bằng góc giữa 2 vector chỉ phương của 2 đường thẳng đó. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai đường đường thẳng d1,d2. Khi đó, cos của góc giữa 2 đường thẳng được xác định bằng công thức Lưu ý góc giữa 2 đường thẳng trong không gian không được tính bằng vector pháp tuyến như trong mặt phẳng. Một số ví dụ minh họa Trên đây là những chia sẻ về góc giữa 2 đường thẳng trong mặt phẳng và trong không gian. Nếu có bất kỳ thắc mắc gì về phần kiến thức này, hãy comment bên dưới bài viết này nhé

2 đường thẳng vuông góc